É um filme que não tem uma leitura fácil para quem não domina os conceitos matemáticos abordados (eu incluido) mas o meu papel foi o da realização e banda sonora, em colaboração com o meu amigo Vitor Fernandes. A ideia original e o guião matemático foi do Prof. José Francisco Rodrigues.
Foi exibido pela 1ª vez em 26 de Setembro em Óbidos numa conferência internacional de matemática.
O texto que aparece no final ajuda a compreender o conteúdo e é o seguinte:
"Os triplos pitagóricos, por exemplo (3, 4, 5) ou (4961, 6480, 8161), eram já bem conhecidos na antiga Babilónia, cerca de 1600 A.C., tal como a sua correspondência com o comprimentos dos lados de um triângulo rectângulo e o problema de partir um número quadrado na soma de dois quadrados. Apesar desses triplos terem sido estudados em detalhe no tempo de Euclides (300 A.C.), foi apenas em meados do século XVII que Pierre de Fermat observou: "Nenhum cubo se pode partir em dois cubos, nem nenhum biquadrado em dois biquadrados, nem, em geral, nenhuma potência maior que a segunda em duas outras do mesmo tipo".
Esta afirmação tornou-se no famoso "Último Teorema de Fermat", estabelecendo que a equação
Esta afirmação tornou-se no famoso "Último Teorema de Fermat", estabelecendo que a equação
AN + B N = C N não tem soluções inteiras não nulas quando N é maior que 2, e apenas foi completamente demonstrada em 1994, cerca de três séculos e meio mais tarde, usando a teoria das curvas elípticas do século XX !
As curvas elípticas são curvas planas do tipo y 2 = x 3 + a x + b que possuem propriedades belas e profundas, bem estudadas desde o século XIX. A essa equação corresponde a equação homogénea de grau três z y 2 = x 3 + a x z 2 + b z 3, a qual descreve no espaço uma família de superfícies algébricas com dois parâmetros a e b. A variação computacional desses parâmetros nessas equações gera belas animações que estimulam a nossa imaginação e evocam a nossa criatividade matemática.
A criptografia trata de métodos seguros para transmitir e salvaguardar informação secreta e valiosa. Desde 1977 o sistema de chave pública RSA tem sido largamente usado e baseia-se na teoria dos números primos e na dificuldade de fatorização de números inteiros muito grandes. Com o impacto do método das curvas elípticas na fatorização de inteiros, os matemáticos inventaram em 1985 um sistema de encriptação por curvas elípticas, o ECC (Elliptic Curve Cryptography) e, desde então, a sofisticação matemática da criptografia foi elevada a um novo nível.
A segurança dos algoritmos ECC é baseada no problema do logaritmo discreto na teoria das curvas elípticas, o qual é atualmente um problema muito mais difícil da aritmética em corpos finitos. Avanços matemáticos recentes implicam que um certo nível de segurança desejada pode ser atingida com chaves significativamente menores, por exemplo, uma chave ECC de 160 bits fornece o mesmo nível de segurança que uma chave RSA de 1024 bits.
A teoria das curvas elípticas ilustra a beleza das interligações entre a teoria dos números, a álgebra e a geometria, além de que fornece um poderoso instrumento matemático para reforçar a segurança do comércio eletrónico e das comunicações digitais. O velho e inseguro método de César para cifrar mensagens no alfabeto latino, que corresponde à simples operação aritmética d = c - 3 (mod 26), está ultrapassado. Mas ainda nos dá a chave para decifrar o título deste filme:
Os créditos são:
INITIATIVA
Centro Internacional de Matemática
Casa da Animação
Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach
IDEIA ORIGINAL
José Francisco Rodrigues
CONCEPÇÃO
Victor Fernandes
Stephan Klaus
Armindo Moreira
José Francisco Rodrigues
REALIZAÇÃO E PRODUÇÃO
Victor Fernandes
Armindo Moreira
FILMES DO SURFER
Andreas Matt
Bianca Violet
MUSICA ORIGINAL
Victor Fernandes
Armindo Moreira
AGRADECIMENTOS
CMAF/Universidade de Lisboa
Fundação Calouste Gulbenkian
IMAGINARY exhibition
Vila de Óbidos
PATROCÍNIO
CIÊNCIA VIVA
As curvas elípticas são curvas planas do tipo y 2 = x 3 + a x + b que possuem propriedades belas e profundas, bem estudadas desde o século XIX. A essa equação corresponde a equação homogénea de grau três z y 2 = x 3 + a x z 2 + b z 3, a qual descreve no espaço uma família de superfícies algébricas com dois parâmetros a e b. A variação computacional desses parâmetros nessas equações gera belas animações que estimulam a nossa imaginação e evocam a nossa criatividade matemática.
A criptografia trata de métodos seguros para transmitir e salvaguardar informação secreta e valiosa. Desde 1977 o sistema de chave pública RSA tem sido largamente usado e baseia-se na teoria dos números primos e na dificuldade de fatorização de números inteiros muito grandes. Com o impacto do método das curvas elípticas na fatorização de inteiros, os matemáticos inventaram em 1985 um sistema de encriptação por curvas elípticas, o ECC (Elliptic Curve Cryptography) e, desde então, a sofisticação matemática da criptografia foi elevada a um novo nível.
A segurança dos algoritmos ECC é baseada no problema do logaritmo discreto na teoria das curvas elípticas, o qual é atualmente um problema muito mais difícil da aritmética em corpos finitos. Avanços matemáticos recentes implicam que um certo nível de segurança desejada pode ser atingida com chaves significativamente menores, por exemplo, uma chave ECC de 160 bits fornece o mesmo nível de segurança que uma chave RSA de 1024 bits.
A teoria das curvas elípticas ilustra a beleza das interligações entre a teoria dos números, a álgebra e a geometria, além de que fornece um poderoso instrumento matemático para reforçar a segurança do comércio eletrónico e das comunicações digitais. O velho e inseguro método de César para cifrar mensagens no alfabeto latino, que corresponde à simples operação aritmética d = c - 3 (mod 26), está ultrapassado. Mas ainda nos dá a chave para decifrar o título deste filme:
Os créditos são:
INITIATIVA
Centro Internacional de Matemática
Casa da Animação
Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach
IDEIA ORIGINAL
José Francisco Rodrigues
CONCEPÇÃO
Victor Fernandes
Stephan Klaus
Armindo Moreira
José Francisco Rodrigues
REALIZAÇÃO E PRODUÇÃO
Victor Fernandes
Armindo Moreira
FILMES DO SURFER
Andreas Matt
Bianca Violet
MUSICA ORIGINAL
Victor Fernandes
Armindo Moreira
AGRADECIMENTOS
CMAF/Universidade de Lisboa
Fundação Calouste Gulbenkian
IMAGINARY exhibition
Vila de Óbidos
PATROCÍNIO
CIÊNCIA VIVA
